삼각함수 이해하기(sin, cos, tan)

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3D 기초 수학 강좌 - 6. 삼각함수(sin, cos, tan)

탄젠트(tan)

나무가 너무 높아서 직접 올라가서 잴 수 없으니 태양의 고도가 45도 일 때 나무의 그림자 길이를 재서 나무의 높이를 알아냈다고 한다.

그림처럼,,

 

위 그림을 보면 두 변의 길이가 같은 이등변 삼각형이 나온다는 것을 알 수 있다.

이등변 삼각형은 두 변의 길이가 같으니 나무의 그림자의 길이는 곧 나무의 높이와 같다는 사실 또한 알 수 있다.

그리고 이 삼각형은 직각 삼각형이라는 것은 말안해도 알 수 있을 것이다.

그리고 이 내용이 삼각함수 탄젠트의 대한 내용이다.

탄젠트 45도를 계산해보면 1이라는 결과값이 나온다.

이 결과값은 비율을 나타낸 것인데 어떠한 비율이 1이라는 것은 비교 대상이 서로 똑같다 라는 뜻이다.

각도가 45도 일 때 그림자의 길이와 나무의 높이를 비교해 봤더니 둘이 똑같더라,

즉,

이것을 좀 더 삼각함수스럽게 표현하면 이렇게 쓴다.

tan(45°) = 1

tan은 삼각함수중 하나인 탄젠트라는 함수인데 지각 삼각형에서 어떠한 각도를 넣었을 때 밑변과 먼변(수직인 변)의 비율을 구해준다.

위 예제에서 그림자의 길이와 나무의 높이의 비율을 구했던 것처럼

 

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사인(sin)

이번에는 눈썰매장을 만든다고 해보자.

25도 각도 경사에다가 100미터 짜리 슬로프를 만든다고 해보자

그림으로 그리면 이런 모습일 것이다.

그런데 슬로프의 길이와 각도는 정했는데 기둥의 높이를 몇 미터로 해야 되는지 모른다는 것이다.

그런데 그림을 보니 이번에도 직각 삼각형이다.

이러면 삼각함수를 써서 알아낼 수 있다.

다만 밑변의 길이나 높이는 모르니 탄젠트는 쓸 수 없다.

 

sin은 제일 긴 빗변과 높이의 비율을 구해주는 함수이다.

위 그림에서는 100m짜리 슬로프가 빗변을 의미 하는데 sin함수를 통해서 빗변과 먼변(높이)의 비율을 구한 뒤 빗변의 길이만큼 곱해주면 높이 값이 나오게 된다.

계산기로 sin(25)를 계산한 결과

sin(25°)에 빗변의 길이인 100을 곱해준 결과

이렇게 해서 기둥의 높이는 42.2... 미터가 된다.

자 여기서,

직각 삼각형에서 한 각도를 선택해 sin(25°)를 계산한 것 까지는 알겠는데, 왜 이 결과값에 슬로프의 길이인 100을 곱해서 높이를 구한 것 일까?

sin은 빗변과 높이의 ' 비율 ' 을 구해주는 함수이기 때문이다.

sin(25도) = 0.422 라는 것은 슬로프의 길이(빗변)에 비해 기둥의 높이(먼변)가 0.422배 작다 라고 생각할 수 있다. 따라서 슬로프의 길이가 100m 라면 기둥의 높이는 100m에 비해 0.422배 작기 때문에

100 x 0.422 = 42.2 가 되는 것.

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코사인(cos)

sin함수는 기둥의 높이를 잴 때 사용했다.

코사인(cos)함수는 밑바닥의 길이를 잴 때 사용할 수 있다.

눈썰매장을 다시 보자.

피타고라스의 정리를 사용해도 바닥의 길이를 구할 수 있지만, 삼각함수 cos를 사용해보자.

코사인(cos)함수는 빗변과 밑변(바닥)의 비율을 계산해 주는 함수이다.

코사인(25도)의 결과값

이 값에 슬로프의 길이인 100을 곱하면...

삼각함수 정리

사인(sin) = 빗변과 먼변(높이)의 비율을 구한다.

코사인(cos) = 빗변과 밑변의 비율을 구한다.

탄젠트(tan) = 밑변과 먼변(높이)의 비율을 구한다.

삼각함수는 직각 삼각형에 대해서 하나의 각이 주어졌을 때 각 변에 대한 비율을 구해준다.

 

 

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